Frazioni e numeri razionali
Premessa storica
Quando si deve dividere una certa grandezza o totalità in un certo numero di
parti uguali non sempre sono sufficienti i numeri interi per rappresentare il
risultato della divisione. Per esempio, per dividere l’unità in due parti
uguali i numeri interi non sono sufficienti.
Gli antichi hanno affrontato questo tipo di problema utilizzando varie scritture
per rappresentare le parti in cui dividere l’unità, ossia le frazioni.
I Babilonesi scrivevano frazioni aventi come denominatore una potenza di 60, la
base della loro numerazione; tuttavia non usavano una notazione specifica per le
frazioni, ad esempio il simbolo |immagini22|rappresentava sia il numero 20 sia
la frazione 20/60, il valore corretto andava interpretato dal contesto.
Gli Egizi facevano largo uso dei numeri frazionari che rappresentavano come
somme di frazioni unitarie, ossia frazioni con numeratore uno. La frazione
unitaria
(con n numero naturale diverso da zero) veniva rappresentata in forma
geroglifica ponendo il denominatore n scritto con la normale rappresentazione
del numero n sotto ad un ovale. La frazione
, per esempio, veniva così rappresentata .
Nel papiro di Ahmes (detto anche papiro di Rhind) troviamo una tabella che dà
la scomposizione in frazioni unitarie delle frazioni del tipo
con n dispari: la frazione
è rappresentata come somma di frazioni unitarie nel seguente modo:
.
Alcune unità frazionarie più comuni venivano indicate con le parti
dell’occhio di Horus; secondo la leggenda Horus, nella lotta contro lo zio
Seth, reo di avergli ucciso il padre, perse un occhio le cui parti vennero
ritrovate e ricomposte dal dio Toth a meno di una piccola parte.
I Romani fecero poco uso dei numeri frazionari; si limitarono a considerare le
parti delle misure in uso che venivano divise in 12, 24, 36, 48… Avevano
pertanto simboli e nomi particolari per indicare alcune frazioni: semis per
indicare
il cui simbolo era S oppure Ζ; sextans per indicare 1/6, dracma per
indicare 1/96 e obolus per indicare la sesta parte della dracma.
Furono gli arabi a introdurre l’attuale scrittura delle frazioni e i termini
“numeratore” e “denominatore”.
La notazione attuale per le frazioni si deve sostanzialmente agli arabi, in
Europa fu diffusa da Leonardo Pisano (Fibonacci) che con il suo “Liber Abaci”
(1202) scrive e opera con le frazioni come oggi le conosciamo.
Frazioni
DEFINIZIONE. Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali in cui
il primo si chiama numeratore e il secondo denominatore. Il denominatore deve
essere diverso da zero.
Quando si chiede, per esempio un quarto di litro di latte,
l, si danno le informazioni su come operare sulla grandezza unitaria litro per
ottenere la quantità desiderata. Le frazioni possono essere viste come
operatori che si applicano a una grandezza fissata, considerata come
l’intero o il tutto, per ottenere una nuova grandezza ben determinata e
omogenea alla prima.
Una frazione con numeratore uguale a 1 è detta frazione unitaria; indicata
con a una grandezza (segmento, peso, superficie, angolo...) la scrittura
sta ad indicare l’operazione di divisione della grandezza A, intesa come “il
tutto”, in n parti uguali.
Nella figura, il segmento unitario da 0 a 1 è stato diviso in due parti uguali
ottenendo la frazione
; dividendolo in quattro parti uguali si ottiene la frazione
; dividendolo in otto parti uguali si ottiene la frazione
; dividendolo in sedici parti uguali si ottiene la frazione
.
DEFINIZIONE. Il denominatore di una frazione è quel numero che indica in
quante parti uguali si è diviso l’intero, poiché non ha senso dividere un
intero in zero parti, il denominatore deve essere diverso da zero.
Vediamo un altro esempio... Warning, unrecognized:
{urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:drawing:1.0}g.. Warning, unrecognized:
{urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:drawing:1.0}custom-shape Il quadrato Q
della figura è stato diviso in quattro parti uguali e una parte è stata
colorata di grigio; questa parte viene indicata con la frazione unitaria
.
Un frazione
significa l’ennesima parte di A, dove A è il tutto che si deve dividere in
n parti uguali. In altre parole, A si può ottenere moltiplicando per n la
*frazione *
.
Partendo da
si possono considerare i suoi multipli interi:
, che rappresentano il doppio di un ennesimo, il triplo di un ennesimo…
l’intera grandezza A*.*
Riferendoci all’esempio del quadrato
La frazione
(si legge emme ennesimi di A) con m < n indica il multiplo secondo *m *della
frazione unitaria:math:frac{1}{ n} A
essa indica la grandezza che si ottiene dividendo A in n parti uguali e
prendendone m.
DEFINIZIONE. Il numeratore di una frazione è quel numero che esprime quante
parti, dell’intero suddiviso in parti secondo il denominatore, sono state prese.
Per leggere una frazione si legge prima il numeratore e poi il denominatore,
quest’ultimo si legge come numero ordinale ( terzo, quarto, quinto, …) fino a
10, se è maggiore di dieci si aggiunge la terminazione “esimo”.
Esempi
Tabella127
- si legge “un mezzo”;
|
- si legge “due terzi”;
|
- si legge “cinque settimi”;
|
si legge “un decimo”; |
“un undicesimo” |
“un dodicesimo” |
A volte per scrivere le frazioni si utilizza la scrittura del tipo a/b, quindi
2/3; 4/6; 6/9...
DEFINIZIONE. Si chiamano proprie le frazioni che hanno il numeratore minore
del denominatore. Esse rappresentano
sempre una grandezza minore dell’intero.
Vi sono frazioni che pur essendo formate da numeratori e denominatori diversi
rappresentano la stessa parte dell’intero.
Da un cartoncino rettangolare quadrettato di lati rispettivamente 5 unità e
8 unità viene ritagliata la forma colorata in grigio, come mostrato nella
figura.
Quale delle seguenti espressioni ti sembra più corretta per esprimere la
relazione tra il cartoncino e la forma ritagliata?
[A] “La forma ottenuta è più piccola del cartoncino.”
[B] “La forma ottenuta è un poligono con un numero maggiore di lati rispetto al
cartoncino dato.”
[C] “La forma ottenuta rappresenta i 12/40 del cartoncino.”
Sbaglio se affermo che la parte colorata è i 3/10 del cartoncino?
Il monte-premi di una lotteria è di 50.000 €; il primo premio è di 25.000
€, il secondo di 10.000 €, il terzo di 5.000 €, il quarto di 4.000 €,
il quinto e il sesto premio sono uguali.
Nella figura un quadretto rappresenta 1.000 €
- Colora con colori diversi i quadretti quanti servono per rappresentare i sei
premi, un colore per ogni premio.
- Quale parte del monte-premi è stata incassata da chi ha vinto il secondo
premio? Esprimi questa parte con una frazione.
- Marco ha vinto il sesto premio: quanto ha vinto?
La figura seguente è composta da 11 quadratini, alcuni bianchi altri grigi.
Completa:
La figura è divisa in due parti mediante la colorazione: la parte grigia
rappresenta .......... dell’intera figura, mentre la parte bianca ne è
...............
- Di ciascuna figura colora la parte indicata dalla frazione .. Warning,
unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-break
DEFINIZIONE. Si dicono equivalenti due frazioni che rappresentano la stessa
parte dell’intero.
PROPRIETA’ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI. Se si moltiplica, o si divide,
numeratore e denominatore di una stessa
frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione
equivalente alla frazione data.
Per trovare una frazione equivalente a una frazione assegnata è sufficiente
moltiplicare per uno stesso numero il numeratore e il denominatore della
frazione assegnata.
Esempio
*Trovare due frazioni equivalenti a *
.
Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 si ha la frazione equivalente
.
Moltiplicando numeratore e denominatore per 3 si ha la frazione equivalente
.
DEFINIZIONE. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e
denominatore sono due interi primi tra loro.
Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e
denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.
Esempio
Ridurre ai minimi termini la frazione *:math:`frac{8}{12}`
*.
Scompongo in fattori 8 e 12, ottengo 8=23 e 12=3·22; calcolo il M.C.D.
prendendo i fattori comuni con l’esponente più piccolo, in
questo caso 22 cioè 4; divido numeratore e denominatore per 4:
.
Tutte le frazioni che hanno il denominatore (numero di parti in cui va divisa
l’unità) uguale al numeratore (numero delle parti che vanno considerate)
rappresentano l’intero:
Per esempio, se divido un quadrato in due parti uguali e ne prendo due parti
ottengo l’intero; se divido un quadrato in tre parti uguali e ne prendo tre
parti ottengo l’intero, ...
|immagini41|
.
- Cosa significa costruire la grandezza
del quadrato ? Costruisci il disego.
Tutte le frazioni che hanno il numeratoreè multiplo del denominatore
rappresentano un multiplo dell’intero:
DEFINIZIONE. Si chiamano apparenti le frazioni che hanno il numeratore
multiplo del denominatore; esse
rappresentano una grandezza multipla di quella presa come intero unitario.
Le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore rappresentano
grandezze più grandi dell’intero. Infatti le parti da considerare (indicate dal
numeratore) sono di più delle parti in cui è divisa l’unità (indicate dal
denominatore).
- Per esempio
- di si ottiene dividendo il quadrato in 4 parti uguali |immagini26|
e prendendone 5, si ha . La grandezza ottenuta è formata da
con l’aggiunta di
. Cioè
DEFINIZIONE. Si chiamano improprie le frazioni che hanno il numeratore
maggiore del denominatore; esse
rappresentano una grandezza maggiore della grandezza assegnata come intero.
Indica se queste frazioni sono proprie [P], improprie [I] o apparenti [A]
-
[P] [I] [A]
[P] [I] [A]
[P] [I] [A]
[P] [I] [A]
[P] [I] [A]
[P] [I] [A]
Trova le frazioni equivalenti completando
Indica almeno tre frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti
- Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni
Nella figura che segue il quadratino colorato rappresenta 1/4 del quadrato
grande; costruisci una figura che rappresenti 8/4 del quadrato grande
accostando opportunamente altri quadrati uguali .
- La parte colorata in grigio della figura corrisponde a
della figura stessa?
- Costruisci una figura che corrisponde a
della figura .
Per ciascuno dei seguenti disegni la parte colorata in grigio rappresenta
sempre la frazione
- Il segmento nel disegno rappresenta i 3/5 dell’intero. Ti basta questa
informazione per costruire l’intero? Come procederesti?
- Disegna un segmento come grandezza unitaria e dimostra che la frazione 3/5 è
equivalente a 6/10 ma non a 9/25.
- Usando una grandezza unitaria arbitraria, stabilisci quale delle seguenti
frazioni rappresenta l’intero e quale un suo multiplo:
Dalle frazioni ai numeri razionali
Come abbiamo visto, ci sono delle frazioni che, pur essendo diverse tra di loro,
rappresentano la stessa parte dell’intero: queste frazioni vengono chiamate
“frazioni equivalenti”. Possiamo formare dei raggruppamenti di frazioni tra
loro equivalenti, come nel disegno.
DEFINIZIONE. Ogni raggruppamento di frazioni equivalenti è definito come un
numero razionale assoluto ed è rappresentato da una qualunque frazione del
raggruppamento; solitamente
si sceglie la frazione ridotta ai minimi termini.
Nell’ esempio
è il numero razionale rappresentante del raggruppamento
In questo modo abbiamo dato al simbolo a/b un nuovo significato, quello di
numero e come tale la scrittura a/b rappresenta il quoziente indicato tra i due
numeri naturali a e b. Scriveremo 2:3= 2/3
DEFINIZIONE. Un numero razionale assoluto preceduto dal segno è detto numero
razionale. L’insieme dei numeri razionali relativi si indica con il simbolo
.
Il segno del numero razionale relativo è quello che si ottiene dalla regola
della divisione dei segni tra numeratore e denominatore.
Esempi
;
;
.
Le frazioni proprie, che hanno numeratore minore del denominatore, rappresentano
sempre un numero compreso tra 0 e 1.
Le frazioni improprie, che hanno numeratore maggiore del denominatore, si
possono scrivere come somma di un numero naturale e di una frazione propria:
- il numero naturale è il risultato della divisione intera tra numeratore e
denominatore;
- il numeratore della frazione unitaria è il resto della divisione tra
numeratore e denominatore;
- il denominatore della frazione unitaria è il denominatore stesso della
frazione.
Esempi
- osserva che 11:3 = 3 con resto di 2, quindi :math:`frac{11}{3} =3 +
frac{2}{3}`
osserva che 19:7= 2 con resto di 5, quindi
Le frazioni apparenti, del tipo
corrispondono a un numero intero, rispettivamente a 1, 2, 4, 3, 4.
- Raggruppa le seguenti frazioni in insiemi di frazioni equivalenti. Etichetta
l’insieme con un numero razionale, prendendo per ogni gruppo la frazione
ridotta ai minimi termini
- Riscrivi le seguenti frazioni improprie come somma di un numero naturale e
una frazione propria.. Warning, unrecognized:
{urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0
}line-break:math:frac{10}{3} ; frac{17}{9} ; frac{11}{2} ;
frac{25}{3} ;
frac{17}{10} ; frac{15}{6}
La scrittura dei numeri razionali
I numeri razionali, rappresentati finora come frazioni, possono essere scritti
come numeri decimali: basta fare la divisione tra numeratore e denominatore, il
quoziente ottenuto è la rappresentazione della frazione sotto forma decimale.
|immagini121|
I numeri decimali che si ottengono sono di due tipi: numeri decimali finiti come
e numeri decimali periodici come
, quest’ultimo si scrive mettendo un barra sulla parte periodica:math:1,
overline {3}
oppure racchiudendo la parte periodica tra parentesi tonde
.
I numeri decimali finiti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore ha come
fattori solo il 2, solo il 5 o entrambi, eventualmente elevati a una potenza.
I numeri decimali periodici semplici si ottengono dalle frazioni il cui
denominatore non ha per fattori né 2 né 5.
I numeri decimali periodici misti si ottengono dalle frazioni il cui
denominatore contiene altri fattori oltre al 2 e al 5.
Esempi
Tabella129
|
|
|
- non è possibile
|
- Senza eseguire le divisioni indica quali di queste frazioni possono essere
scritte come numero decimale finito [DF], quali come numero decimale
periodico [DP] e quali come numeri intero [I] :
-
[DF] [DP] [I]
- [DF] [DP] [I]
- [DF] [DP] [I]
- [DF] [DP] [I]
- [DF] [DP] [I]
- [DF] [DP] [I]
[DF] [DP] [I]
[DF] [DP] [I]
Procedura per trasformare una frazione in numero decimale
- eseguire la divisione tra numeratore e denominatore;
- se la divisione ha un resto mettere la virgola al quoziente e moltiplicare
per 10 il resto;
- continuare la divisione finché il resto è zero oppure fino a che non si
trova un resto già trovato prima;
- se la divisione si conclude con resto 0 si ottiene un numero decimale finito;
- se la divisione si conclude perché si è ritrovato un resto ottenuto in
precedenza si ottiene un numero decimale periodico.
Esempi
Viceversa un numero decimale finito o periodico può essere sempre scritto sotto
forma di frazione.
Procedura per trasformare un numero decimale finito in una frazione
- contare le cifre significative dopo la virgola
- moltiplicare numeratore e denominatore per la potenza del 10 che ha esponente
uguale al numero delle cifre significative dopo la virgola.
Per facilitare questa operazione possiamo considerare i numeri decimali finiti
come frazioni particolari che hanno il numeratore uguale al numero decimale e il
denominatore uguale a 1.
1,360 ha due cifre significative dopo la virgola
0,00043000 ha cinque cifre significative dopo la virgola
Un numero decimale periodico, generalmente, presenta tre elementi:
- la parte intera, composta dalle cifre poste prima della virgola;
- il periodo, che è composto da una o più cifre che si ripetono
all’infinito dopo la virgola;
- l’antiperiodo, la parte, talvolta assente, composta da una o più cifre
poste tra la virgola e il periodo.
Per esempio, nel numero 253,485795795795795... la parte intera è 253, il
periodo è 579, l’antiperiodo è 48.
Dato che il numero è infinito non può essere scritto con tutte le sue cifre,
si usano due modi per scriverlo in forma compatta, mettendo una lineetta sopra
le cifre del periodo o racchiudendo le cifre del periodo tra parentesi tonde.
Il numero 253,485795795795795... può essere scritto
, oppure
.
I numeri decimali periodici si dividono in:
- semplici se subito dopo la virgola è presente il periodo
- misti se dopo la virgola è presente l’antiperiodo
Anche i numeri periodi possono essere trasformati in una frazione, che si dice
frazione generatrice del numero:
Procedura per determinare la frazione generatrice di un numero periodico
- Scrivere il numero senza la virgola
;
- il numeratore della frazione si ottiene sottraendo dal numero senza la
virgola il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo..
tab:math:mathbf{2512 -25=2487}
;
Il denominatore della frazione si ottiene scrivendo tanti 9 quante sono le
cifre del periodo e tanti 0 quante sono le eventuali cifre
dell’antiperiodo:
.
Ma perché questa regola? Una possibile spiegazione
Consideriamo il numero periodico semplice
. Considero la frazione
moltiplico numeratore e denominatore per 10
e ottengo
... Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-
breakL’obiettivo è quello di eliminare dal numeratore della frazione la parte
decimale, per ottenere questo risultato tolgo
da
cioè
.
Come mai
e non
o
? Perché in questo modo posso sapere quanto vale il denominatore: se
è il risultato della moltiplicazione di
,
è il risultato della moltiplicazione di
in quanto
. In definitiva:math:2, overline {3}=frac{23 -2}{9}=frac{21}{9}
=frac{7}{3}
.
Possiamo usare lo stesso procedimento per il numero periodico misto.
.
Considero la frazione
moltiplico numeratore e denominatore per 1000 e ottengo:
L’obiettivo è quello di eliminare dal numeratore della frazione la parte
decimale che contiene il periodo che si ripete all’infinito e per ottenere
questo risultato tolgo da
questa volta:math:25, overline {12}
cioè
. Per avere una frazione equivalente occorre che al denominatore abbia 990 in
quanto dal numeratore ho tolto 10 volte
.
.
Numeri periodici particolari
Numeri periodici particolari sono quelli che hanno come periodo il numero 9,
come
,
,
ecc. Se, per esempio, applichiamo la regola per il calcolo della frazione
- generatrice al numero periodico
- otteniamo un risultato inatteso.
Quindi
coincide con il numero intero 3.
Per lo stesso motivo
,
.
Questo fatto si può anche dimostrare in modo grafico, rappresentando, ad
esempio, il numero
e il numero 1 sulla retta reale.
Se i due numeri fossero veramente diversi sarebbero rappresentati da due punti
distinti come in figura. Dato che la retta reale non può avere “buchi”, tra
un suo punto e un altro ci deve essere almeno un altro numero compreso tra i
due. Ma qual è questo numero? Qualunque numero decimale minore di 1 è
sicuramente superato dal numero
, ad esempio 0,9999999998 è sicuramente più piccolo di
. Quindi non esiste nessun numero tra
e 1 , di conseguenza i due numeri coincidono.
- Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali
Tabella78
a)
= |
= |
= |
= |
= |
= |
b)
= |
= |
= |
= |
= |
= |
c)
= |
= |
= |
= |
= |
= |
d)
= |
= |
= |
= |
= |
|
e)
= |
= |
|
|
|
|
- Trasforma in frazioni i seguenti numeri decimali
- 12,5
- 4,2
- 6,25
- 3,75
- 0,1
- 12,5
- 12,3
- 1,13
- 2,25
- 3,24
- 4,75
- 5,21
- 100,100
- 0,12
- 1,1030
- 0,00100
- 100,001
- 0,0001
- 1,25
- 0,08
- 1,002
- 15,675
- 1,7
- 1,46
- 0,13
- 0,149
- 5,015
- 3,21
- 2,3
- 1,086
Alcuni risultati: 25/2; 21/5; 25/4; 15/4; 1/10; 25/2
- Completa la tabella
Tabella58
Numero decimale |
Parte intera |
Parte decimale |
periodo |
antiperiodo |
frazione |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.
- Scrivi la frazione generatrice di
, qual è la 614-ma cifra decimale del numero?
- Calcola
. Cosa osservi?
I numeri razionali e la retta
Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata. Per
fare questo occorre scegliere un punto O sulla retta e associare ad esso il
numero zero. Fissiamo poi un segmento unitario e scegliamo un verso di
percorrenza.
Dato un numero razionale positivo, rappresentato dalla frazione
il punto corrispondente al numero razionale sulla retta viene determinato nel
seguente modo. Dividiamo il segmento unitario u in tante parti uguali quante
sono quelle indicate dal denominatore n della frazione, ottenendo così la
frazione unitaria
. A partire dal punto O procedendo verso destra, si contano a frazioni
unitarie. L’ultimo punto rappresenta il numero razionale
.
Per le frazioni improprie la singola unità u non è sufficiente, occorre
prendere la unità successiva di u e dividere anche questa in n parti. Il
procedimento si ripete fino a che si considerano tutte le frazioni
unitarie indicate da a**.** Anche in questo caso, il punto individuato
dall’ultima frazione unitaria
rappresenta il numero razionale
. In alternativa si può scomporre la frazione impropria nella somma di un
numero intero e di una frazione propria, quindi si rappresenta la frazione
impropria a partire dal suo numero intero invece che partire da 0. Per esempio,
per rappresentare la frazione
trasformiamo la frazione in
- , quindi rappresentiamo
- partendo dal numero 1 invece che da 0.
Se il numero razionale è negativo, ci comportiamo come prima con l’avvertenza
di muoverci nel senso opposto a quello precedente cioè da destra verso
sinistra.
Rappresenta su una retta orientata, dopo aver scelto una opportuna unità di
misura, i seguenti gruppi di numeri razionali, ciascun gruppo su una retta
Scrivi i numeri razionali rappresentati dai punti segnati sulla retta nella
figura
- Disegna su una retta orientata i seguenti numeri decimali, ciascun gruppo su
una retta
Tabella79
|
0,6 |
2,3 |
-1,2 |
-0,06 |
1,1 |
|
+1,4 |
-0,3 |
-1,5 |
0,2 |
-2,01 |
|
-0,8 |
-1,6 |
+4,91 |
-1,17 |
+3,9 |
|
1,55 |
2,01 |
-3,0 |
-2,10 |
0,25 |
Confronto tra numeri razionali
Il numero razionale rappresentato dalla frazione
è minore del numero razionale rappresentato dalla frazione
, se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione:math:frac{
a}{ n}
precede il punto che corrisponde alla frazione
e si scrive
. Viceversa
è maggiore di
, se nella retta orientata il punto che corrisponde a
segue il punto che corrisponde a
e si scrive
.
Il numero razionale
è equivalente a
se nella retta orientata i punti che corrispondono alle due frazioni coincidono.
Esempio
Per certe frazioni è facile vedere se una frazione precede o segue un’altra.
Per altre non è così semplice.
Consideriamo per esempio le frazioni
e
. Quale frazione precede e quale segue? Il confronto non è immediato perché
con la prima frazione si conta per unità frazionarie di tipo
, con la seconda per unità frazionarie di tipo
.
In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono
confrontare i numeri razionali?
Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno unità
frazionarie dello stesso tipo: cioè occorreridurre le frazioni allo stesso
denominatore*.*
Procedura per confrontare due frazioni
- si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni;
- si trasforma ciascuna frazione come segue:
- il nuovo denominatore è il m.c.m. trovato
- il nuovo numeratore si ottiene dividendo il m.c.m. per il denominatore
della frazione data e moltiplicando il quoziente ottenuto per il
numeratore della frazione data;
- si confrontano i nuovi numeratori: la frazione più grande è quella che ha
il numeratore più grande.
Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel ‘moltiplicare in croce’
numeratori e denominatori delle frazioni, come nel seguente esempio:
Esempio
- Confronta
con
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione con il denominatore della
seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore
della seconda, così:
- perché
Esempio
- Confronta le frazioni
e
.
quindi
- Inserisci tra le seguenti coppie di numeri razionali i simboli di
maggiore(>), minore(<) o uguale(=).
- Quale dei seguenti numeri razionali è il maggiore?
- Quale dei seguenti numeri razionali è il minore?
- Scrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande)
- Scrivi in ordine decrescente (dal più grande al più piccolo)
- Qual è la minore delle seguenti frazioni?
;
;
;
- Metti in ordine le seguenti frazioni:math:frac{3}{4} ; frac{4}{3} ;
frac{11}{12} ; frac{5}{3}
- Ordina dal più piccolo al più grande
Tabella102
10,011 |
10,110 |
11,001 |
11,100 |
10,01 |
11,11 |
10,101 |
10,001 |
0,101 |
0,011 |
0,110 |
0,011 |
1,0101 |
1,1001 |
1,0011 |
1,0110 |
- Scrivi una frazione molto vicina a
- Scrivi una frazione compresa tra:
Tabella104
- < .......<
|
- < .......<
|
- < .......<
|
- Quali disuguaglianze sono vere?
Tabella105
[A] |
V F |
[B] |
V F |
[C] |
V F |
[D] |
V F |
[E] |
V F |
[F] |
V F |
- Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1?
Tabella107
[A] 0,10 |
[B] 0,99 |
[C] 0,01 |
[D] 0,90 |
- Quale dei seguenti numeri è più vicino alla frazione
?
Tabella108
[A] 0,01 |
[B] 0,90 |
[C] 1,01 |
[D] 0,19 |
- *Scrivi due numeri compresi tra *
Tabella106
2,3 < ...... < ...... < 3,4 |
3,4 < ...... < ...... < 3,6 |
- < ...... < ...... <
|
< ...... < ...... < |
< ...... < ...... < |
< ...... < ...... < |
- Rappresenta su una opportuna retta numerica le seguenti frazioni e poi
riscrivile in ordine crescente
Le operazioni con i numeri razionali
Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le
moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un
numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano,
si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre
una frazione.
Addizione
Se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare
i numeratori delle frazioni e prendere come denominatore l’unità frazionaria
comune.
Per esempio, è noto che mezz’ora più mezz’ora fa un’ora:
.
Anche un quarto d’ora più tre quarti d’ora fanno un’ora:
DEFINIZIONE. La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è una
frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e
per numeratore la somma dei numeratori.
Se le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti
a quelle date che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire
l’addizione come indicato nel punto precedente e cioè sommando i numeratori e
lasciando lo stesso denominatore comune.
In generale data l’addizione di due frazioni
la somma si può scrivere come:math:frac{mq+ pn}{ nq}
:
Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore
comune, tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo
possibile, cioè il *minimo comune multiplo *.
Procedura per sommare due o più frazioni:
- ridurre le frazioni ai minimi termini;
- calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori;
- mettere il minimo comune multiplo come denominatore della frazione somma;..
tab
- per ogni frazione dividere il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplicare
il risultato per il
- numeratore della frazione mantenendo il segno;
- calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
- mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
- ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.
Esempio
- Sommare le frazioni
Passo 1: riduco ai minimi termini le frazioni:math:frac{2}{3} -frac{5}{6} +
frac{8}{5} -frac{1}{1}
Passo 2: calcolo:math:mcm( 3,6,5,1 ) =30
Passo 3: la frazione somma avrà come denominatore il m.c.m. trovato
Passo 4: per ogni frazione divido il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplico
il risultato per il numeratore:
Passo 5: calcolo la somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore +13
Passo 6: metto la somma ottenuta al numeratore della frazione somma
Passo 7: vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è
.
Sottrazione di frazioni
La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la
prima frazione e l’opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi,
quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà sempre somma algebrica di
frazioni.
- Calcola le seguenti somme algebriche tra frazioni:
- Calcola le seguenti somme algebriche fra numeri razionali.
- Completa la seguente tabella
Calcola a mente
0,1+0,1 = 0,2+0,8 = 0,01+0,9 = 0,91+0,19 =
1,10+1,01= 0,999+0,10 = 1,1-0,9 = 100-0,99 =
2-0,1 = 3-1,1 = 4-1,4 = 10-0,10 =
Operazione inversa e aritmetica dell’orologio
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Ma cosa significa
operazione inversa?
Una operazione può essere interpretata come qualsiasi azione che provoca un
cambiamento di stato.
Consideriamo come esempio l’addizione nell’orologio che segna le ore dodici (12
= 0). Addizionare significa spostare le lancette in avanti di un determinato
numero di ore.
Si riporta la tabella dell’addizione dell’orologio.
Tabella10
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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9 |
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9 |
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10 |
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6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Consideriamo l’addizione
Il primo elemento 9 può essere interpretato come stato iniziale, + 7 come
operatore formato dall’operazione “spostare le lancette avanti di...” e
dall’argomento 7; il risultato 4 è lo stato finale.
Si indica come operazione inversa quella operazione che applicata allo stato
finale con argomento uguale a quello precedente dell’operazione diretta, riporta
allo stato iniziale.
Notiamo che anche nella matematica dell’orologio l’addizione gode della
proprietà commutativa e associativa, ha l’elemento neutro che è 0, ogni numero
ha l’inverso.
L’inverso di 0 è 0 perché 0+0=0 L’inverso di 1 è 11 perché 1+11=0..
Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-
breakL’inverso di 2 è 10 perché 2+10=0 L’inverso di 3 è 9 perché
3+9=0.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0
}line-breakL’inverso di 4 è 8 perché 4+8=0 L’inverso di 5 è 7 perché
5+7=0.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0
}line-breake così via.
L’elemento inverso è molto importante in quanto ci permette di sostituire
l’operazione inversa, con l’operazione diretta che ha come argomento l’elemento
inverso dell’argomento dell’operazione diretta.
Così per tornare allo stato iniziale invece di operare con portare indietro le
lancette di 7, otteniamo lo stesso risultato portando avanti le lancette di 5
che è appunto l’inverso di 7.
Divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dato che
nell’insieme dei numeri razionali esiste sempre l’inverso di una frazione
rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire
la divisione di due qualsiasi frazioni:
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la
prima frazione per l’inverso della seconda frazione.
Esempi
- il reciproco di
è
pertanto :math:`frac{2}{3} div frac{7}{4}=frac{2}{3} cdot
frac{4}{7}=frac{8}{21}`
.
il reciproco di
è
pertanto :math:
`- frac{2}{3} div left( - frac{3}{4} right) = -
frac{2}{3} cdot left( - frac{4}{3} right) = frac{+ 8}{9}`
.
- il reciproco di 0 non esiste quindi la divisione non è eseguibile.
- il reciproco di
pertanto:math:0 div frac{2}{3}=0cdotfrac{3}{2}=0
- Calcola i seguenti quozienti fra frazioni
- Calcola i seguenti quozienti fra numeri razionali.
- Completa la seguente tabella
- Calcola a mente
Potenza di una frazione
Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è
altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è
il valore dell’esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il
denominatore della frazione all’esponente della potenza.
Esempi
Potenza con esponente uguale a 0
La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l’esponente è zero.
Dividendo due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente, si ha:
infatti dividendo due numeri uguali si ha 1.
D’altra parte, applicando le proprietà delle potenze:math:a^{ n} div a^{
n}= a^{0}
. Possiamo allora concludere che per ogni frazione o numero razionale a
diverso da zero
.
Non è invece possibile la potenza
.
Potenza con esponente un numero intero negativo
La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l’esponente sia
uguale a un numero intero negativo:
.
Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero
.
La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo
è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente
l’opposto dell’esponente.
Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0 , il numero 0
infatti non ha il reciproco. Pertanto,
è una scrittura priva di significato.
- Calcola il valore delle seguenti potenze
Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate nelle seguenti
uguaglianze
Completa la seguente tabella.
- Calcola a mente
- Calcola le seguenti potenze prestando particolare attenzione ai segni
Esercizi di ripasso sulle operazioni con le frazioni
- Esegui le seguenti operazioni con le frazioni, quando è possibile
- Verifica le seguenti uguaglianze trovando la frazione generatrice
- Sottolinea le frazioni equivalenti a
tra le seguenti :math:`frac{6}{10} ; frac{25}{100} ; frac{12}{10} ;
frac{5}{25}`
Completa le seguenti uguaglianze
Completa:
Correggi le seguenti operazioni:
- Riscrivi in simboli e motiva la verità o falsità di ciascuna proposizione
- Il triplo di un terzo è l’unità.
La somma di un quinto con il doppio di un mezzo è sei quinti.
- Un ottavo è maggiore di un quinto.
- Relativamente alla figura a fianco, quale proposizione è vera?
- Il segmento AB la divide in due parti uguali
- Il segmento AB la divide in due quadrilateri
- La parte in grigio rappresenta 1/4 della figura?
- Costruisci una figura che sia gli 11/6 della figura che segue:
- Colora i 3/4 della figura
Notazione scientifica e ordine di grandezza
Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia etc., si
trovano spesso a doversi confrontare con misurazioni di grandezze espresse da
numeri molto grandi. Per esempio:
- il raggio della Terra è circa 6 400 000 m;
- la velocità della luce nel vuoto è 299 790 000 m/s;
- un globulo rosso ha il diametro di 0,000007 m.
I primi due numeri sono “molto grandi”, mentre l’ultimo è “molto
piccolo” e operare con numeri simili, non è affatto semplice.
Per renderci conto di ciò, consideriamo un rettangolo di dimensioni.. Warning,
unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-breakb =
0,00000006 m e h = 0,0000002 m e calcoliamone l’area:
.
Come si può notare, per scrivere il risultato di un’operazione tra due numeri
in questo caso “molto piccoli”, è necessario fare particolare attenzione in
quanto, per l’eccessiva quantità di cifre decimali, è facile commettere
degli errori.
Per risolvere questo problema, si preferisce utilizzare una scrittura compatta
che permette di scrivere questo tipo di numeri in forma più agevole. Una tale
scrittura prende il nome di notazione scientifica.
- DEFINIZIONE. Un numero
- è scritto in notazione scientifica se si presenta nella
forma:
dove k è un numero decimale compreso tra 1 e 9 ed n è un numero intero.
Esempi
I numeri
e:math:8,9 cdot 10^{- 5}
sono scritti in notazione scientifica, mentre i numeri:math:0,5 cdot 10^{3}
e:math:11,3 cdot 10^{- 8}
non sono scritti in notazione scientifica in quanto il numero davanti alla
potenza di 10 nel primo caso è 0,5 che è minore di 1, nel secondo caso è 11,3
che è maggiore di 10.
Come trasformare un numero in notazione scientifica?
Consideriamo la misura del diametro del globulo rosso, ovvero 0,000007 m. Per
esprimere questa misura in notazione scientifica basta considerare la sua
frazione generatrice, ovvero:
Allo stesso modo il numero 0,000000026 viene scritto in notazione scientifica
come segue:
Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore
2,6 anziché 26, in quanto il numero k deve essere compreso tra 1 e 9.
Consideriamo ora la misura del raggio della Terra, ovvero 6.400.000 m, la sua
espressione in notazione scientifica sarà:
.
Allo stesso modo il numero 340 000 000 000 viene scritto in notazione
scientifica
.
Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore
3,4 anziché 34, in quanto, come si è già detto, il numero k deve essere
compreso tra 1 e 9.
Osservazione
A numeri “piccoli”, corrisponde una potenza di dieci con esponente negativo;
a numeri “grandi”, corrisponde una potenza di dieci con esponente positivo.
Esempio
Riprendendo il problema della lamina rettangolare, le sue dimensioni in
notazione scientifica vengono scritte come:
L’area sarà quindi:
Com’è possibile vedere, utilizzando le note proprietà delle potenze, si
riesce ad eseguire l’operazione in maniera molto agevole.
Procedura per scrivere un numero decimale positivo a in notazione scientifica
se
, per esempio
- si divide il numero decimale per una potenza del 10 in modo da avere un
numero decimale compreso tra 1 e 9;
per trovare la potenza del 10 per la quale dividere il numero bisogna
contare le cifre significative del numero prima della eventuale virgola e
togliere 1. Per esempio le cifre significative
di:math:348.000.000.000.000
sono 15, si divide quindi il numero per
, si ottiene
;
- per scrivere il numero a in notazione scientifica occorre moltiplicare
il numero trovato al passo precedente per la potenza di 10 utilizzata.
Nell’esempio precedente:math:3,48 cdot 10^{14}
se
, per esempio
- Esprimere in notazione scientifica i seguenti numeri
- Quale tra i seguenti numeri non è scritto in notazione scientifica?
Tabella13
[A] |
[B] |
[C] |
[D]:math:9,8 cdot 10^{7} |
- Determina in notazione scientifica l’area di una lamina di ferro quadrata
di lato 0,00000000021 m.
- Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri
Tabella85
34000 |
0,000054 |
260000 |
0,0000157 |
99000000 |
- Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il
risultato
Tabella86
= ... |
= ... |
= ... |
|
Esempio
Calcola il risultato e scrivilo in forma esponenziale
- Calcola ed esprimi il risultato in notazione scientifica
Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il
risultato
-
-
-
-
- Disponi in ordine di distanza dal Sole i seguenti pianeti, in base alla
distanza media riportata tra parentesi: Mercurio
, Nettuno
, Giove
, Plutone
, Urano
, Terra
, Marte
.
Ordine di grandezza
Spesso, nel trattare i numeri “molto grandi” o “molto piccoli”, non è
importante conoscere la misura con precisione, ma basta conoscere “quanto è
grande”, cioè l’entità della sua grandezza. Per fare ciò si introduce il
seguente concetto.
DEFINIZIONE. Dato un numero, si definisce ordine di grandezza (abbreviato
con la sigla o.d.g.), la potenza di 10 più vicina al numero.
Procedura per determinare l’ordine di grandezza di un numero
scrivi il numero dato in notazione scientifica:math:mathbf{kcdot10^{ n}}
;
- se
l’ordine di grandezza è
- se
l’ordine di grandezza è
.
Esempio
- Determinare l’ordine di grandezza dei numeri 0,000074 e 47000000000.
Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica:
,:math:47000000000=4,7 cdot10^{10}
l’o.d.g. del primo numero è:math:10^{- 4}
in quanto il numero 7,4 è maggiore di 5.
l’o.d.g del secondo numero è:math:10^{10}
in quanto il numero 4,7 è minore di 5.
- Determina l’ordine di grandezza dei seguenti numeri
126 000 000 0,0000098 7 000 000 0,0000000027
- Completare la seguente tabella:
Tabella14
Numero |
26 000 000 |
0,000083 |
490 000 |
0,0000081 |
Notazione scientifica |
|
|
|
|
o.d.g. |
|
|
|
|
- Determina l’ordine di grandezza del risultato dei seguenti calcoli
Tabella88
|
|
Problemi con le frazioni
Problemi diretti. Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza
e se ne deve calcolare la parte che corrisponde a una frazione. In questo caso
basta moltiplicare la frazione per la grandezza intera.
Esempio
Una pasticceria produce 568 cornetti a settimana: i 3/4 sono alla crema, 1/8
sono al cioccolato e 1/8 alla marmellata. Quanti cornetti di ciascun tipo
produce?
Per risolvere il problema occorre calcolare la parte che corrisponde a ciascuna
frazione:
Cornetti alla crema:
Cornetti al cioccolato:
Cornetti alla marmellata: 71.
Problemi inversi.Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una
frazione di una certa grandezza si deve calcolare il valore dell’intera
grandezza. In questo caso occorre dividere il valore numerico dato per la
frazione, si ottiene così l’intero.
Esempio
Mario ha speso 21€ che corrispondono ai 3/5 della somma che possedeva. Quanto
possedeva?
In questo problema si sa che 21€ corrispondono ai 3/5 della somma da cercare.
E’ sufficiente dividere 21 per la frazione:
System Message: WARNING/2 (21 € \div \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 €)
latex exited with error:
[stderr]
[stdout]
This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian)
entering extended mode
(./math.tex
LaTeX2e <2009/09/24>
Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $21 €
\div \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 €$
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $21 € \div \frac{3}{5}=21€
\cdot\frac{5}{3}=35 €$
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 ... \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 €
$
[1] (./math.aux) )
(see the transcript file for additional information)
Output written on math.dvi (1 page, 400 bytes).
Transcript written on math.log.
.
Esempio
Giuseppe possiede 150 euro. Se spende i 3/5 della somma posseduta e poi i 2/3
della somma rimanente, quanto gli rimane?
Per risolvere il problema si può procedere in più modi: calcoliamo prima i 3/5
di 150, cioè
System Message: WARNING/2 (\frac{3}{5} \cdot150€ =90 €)
latex exited with error:
[stderr]
[stdout]
This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian)
entering extended mode
(./math.tex
LaTeX2e <2009/09/24>
Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $\frac{3}{5} \cdot150€
=90 €$
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $\frac{3}{5} \cdot150€ =90 €
$
[1] (./math.aux) )
(see the transcript file for additional information)
Output written on math.dvi (1 page, 344 bytes).
Transcript written on math.log.
. Quindi la prima volta Giuseppe spende 90 €, perciò gliene rimangono 60. La
seconda volta spende i 2/3 di 60 €, cioè
System Message: WARNING/2 (\frac{2}{3} \cdot60€ =40
€)
latex exited with error:
[stderr]
[stdout]
This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian)
entering extended mode
(./math.tex
LaTeX2e <2009/09/24>
Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $\frac{2}{3} \cdot60€
=40
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.13 €
$
[1] (./math.aux) )
(see the transcript file for additional information)
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. In tutto ha speso 90€+40€=130€, gli rimangono 20€.
Un altro modo per risolvere il problema è tenere conto che, se la prima volta
ha speso i
della somma che possedeva, significa che gli rimane la frazione :math:
`1 -
frac{3}{5} = frac{2}{5}`
. La seconda volta spende i
dei
, cioè
. In tutto ha speso la frazione
, gli rimane perciò la frazione
, pertanto gli rimangono
System Message: WARNING/2 (\frac{2}{15} \cdot 150€ = 20 €)
latex exited with error:
[stderr]
[stdout]
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yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
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\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $\frac{2}{15} \cdot 150€
= 20 €$
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $\frac{2}{15} \cdot 150€ = 20 €
$
[1] (./math.aux) )
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.
- La distanza Roma - Bari è di 450 km. Se ho percorso i 2/5 del tragitto
quanti chilometri mancano ancora da percorrere?
- Lucia ha letto 3/5 di un libro, gli rimangono da leggere 120 pagine. Quante
pagine ha il libro? [R.42]
- Una persona possiede 525 euro. Se spende i 3/5 della somma e poi i 2/3 della
rimanente, quale somma di denaro gli rimane?
- Luigi ha 18 anni, cioè i 3/7 dell’età di sua madre, che a sua volta ha i
4/5 dell’età de marito. Quali sono le età del padre e della madre di Luigi?
Le percentuali
Avrai sentito parlare spesso che il prezzo di un oggetto è stato scontato del
10 per cento, oppure che un partito politico ha preso il 25 per cento di voti e
altre espressioni simili che coinvolgono le percentuali.
Le percentuali sono un altro modo per scrivere le frazioni.
DEFINIZIONE. Le percentuali sono frazioni che hanno come denominatore 100 e
come numeratore un numero intero o decimale.
La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %.
- Per passare dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere
per 100 il numero che esprime la percentuale:
- Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale basta
moltiplicare numeratore e denominatore per 100:
- Per passare da una frazione alla percentuale conviene prima scrivere la
frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale:
- Trasforma i seguenti numeri percentuali in numeri decimali.
- Trasforma i seguenti numeri decimali in percentuali.
- Trasforma i seguenti numeri percentuali in frazioni ridotte ai minimi
termini.
- Trasforma le seguenti frazioni in numeri percentuali.
Problemi con le percentuali
Per calcolare la percentuale di una grandezza è sufficiente moltiplicare il
valore della grandezza per la percentuale espressa in frazione.
Esempio
In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sono
stati i promossi?
Per rispondere alla domanda si moltiplica il numero totale di alunni per la
frazione 95/100. Precisamente
. Poiché il risultato non è un numero intero la percentuale è stata
approssimata. Gli alunni promossi sono stati 814.
A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale
è la parte nota rispetto al totale. In questo caso occorre dividere la parte
nota per l’intera grandezza, moltiplicare il risultato per 100 ed esprimere il
numero in percentuale.
Esempio
Di una scolaresca di 652 alunni ben 126 hanno avuto il debito in matematica.
Qual è la percentuale di alunni che hanno avuto **il debito in matematica?
Per rispondere alla domanda eseguiamo i seguenti calcoli
.
Problemi con gli sconti
Esempio
Un pantalone costava 70€ e viene venduto con il 20% di sconto, a quanto viene
venduto?
Si tratta di calcolare prima lo sconto e po il prezzo scontato.
Lo sconto è dato da
System Message: WARNING/2 (20\text{ \%} \cdot70€ =\frac{20}{100} \cdot70€
=14 €)
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
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\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $20\text{ \%} \cdot70€
=\frac{20}{100} \cdot70€
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\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 ... \%} \cdot70€ =\frac{20}{100} \cdot70€
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\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.13 =14 €
$
[1] (./math.aux) )
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. Il prezzo scontato è 70€ - 14€ = 56€.
In alternativa si può tenere conto che, se 20% esprime lo sconto, la parte
rimanente, quella da pagare, è 100%-20%=80%. Quindi per calcolare quanto
costano i pantaloni scontati si può calcolare
System Message: WARNING/2 (80\text{ \%} \cdot70€ =\frac{80}{100} \cdot70€ =56 €)
latex exited with error:
[stderr]
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, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
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For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
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\else \euro \fi
l.12 $80\text{ \%} \cdot70€
=\frac{80}{100} \cdot70€ =56 €$
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\else \euro \fi
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\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 ...ot70€ =\frac{80}{100} \cdot70€ =56 €
$
[1] (./math.aux) )
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.
Esempio
Un paio di scarpe da 120€ viene venduto scontato a 75€ Qual è stata la
percentuale di sconto praticato?
Per rispondere alla domanda, calcolo lo sconto = 120€ - 75€ = 45€.
Calcolo la percentuale che 45€ rappresentano di 120€,
.
Esempio
Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortuna era
scontato del 15%, ha risparmiato cosi 120 euro. Quanto costa il computer di
listino?
120€ corrisponde al 15% del prezzo di listino. Per calcolare il prezzo di
listino occorre dividere 120 per la frazione che corrisponde a 15%.
System Message: WARNING/2 (120 \div 15\text{ \%} = 120 \div \frac{15}{100} = 120 \cdot
\frac{100}{15} = 800 €)
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ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
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\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.13 \frac{100}{15} = 800 €
$
[1] (./math.aux) )
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.
- A una scuola di ballo si sono iscritte 120 persone; il 20% frequentano i
corsi di ballo liscio. In quanti frequentano i corsi di liscio?
- Una scuola attiva dei corsi di lingue. 32 studenti si iscrivono al corso di
inglese, 24 al corso di francese e 16 al corso di tedesco. Qual è la
percentuale degli alunni
iscritti al corso di inglese, rispetto al totale degli iscritti?
- A una scuola di ballo sono iscritte 120 persone. Di queste il 68% sono donne.
Quanti sono gli uomini?
- Una bici viene venduta con uno sconto del 10%, il prezzo di listino prima
dello sconto era 175 €. Quanto costa ora?
- Una canna da pesca da 125 € è in vendita promozionale a 70 €. Qual è la
percentuale di sconto applicata?
- Per l’acquisto di un armadio Maria è riuscita a spuntare, dopo lunghe
discussioni, uno sconto del 25% risparmiando ben 120 €. Qual era il prezzo
senza sconto dell’armadio?
- Completa la seguente tabella
Tabella74
prezzo di listino |
sconto |
sconto in % |
prezzo scontato |
120€ |
12€ |
10% |
108€ |
250€ |
10€ |
… |
|
125€ |
5€ |
… |
... |
170€ |
… |
10% |
… |
1.100€ |
… |
15% |
... |
220€ |
… |
… |
20€ |
12.000€ |
… |
… |
700€ |
… |
15€ |
15% |
… |
… |
30€ |
… |
50€ |
… |
… |
25% |
140€ |
… |
120€ |
30% |
… |
- Calcola:
- il 10% di 100
- il 30% di 700
- il 20% di 500
- il 15% di 150
- il 25% di 1250
- il 16% di 120
- Quale percentuale è
- 10 bocciati su 120 alunni: la percentuale di bocciati è …
- 15 alunni su 45 giocano a calcio: la percentuale di alunni che giocano a
calcio è …
- 10 alunni su 28 suonano il piano: la percentuale di alunni che suonano il
piano è …
- 20 alunni su 120 frequentano il corso di teatro: la percentuale di alunni
che fanno
teatro è ...
- Se aumenta al prezzo
- un chilo di pane lo scorso anno costava 1,20€, quest’anno è aumentato
del 3%, allora costa … … €
- un litro di benzina lo scorso anno costava 1,514 €, quest’anno costa
1,629€ allora è aumentata del ... %
- un litro di latte lo scorso anno costava 1,25€, quest’anno è aumentato
di 0,05%, allora costa …… €
- un chilo di formaggio parmigiano lo scorso anno costava 23,50€
quest’anno costa 25,80€ allora è aumentato del …...%
- Se il prezzo diminuisce
- un chilo di pomodori lo scorso anno costava 1,20€, quest’anno è
diminuito del 5%, allora costa …...€
- un chilo di peperoni lo scorso anno costava 2,10€, quest’anno costa
1,80€ allora è diminuito del …...%
- un chilo di cicoria lo scorso anno costava 0,80€, quest’anno due chili
costano 1,20 €, allora la cicoria è diminuita del …...%
- un chilo di arance lo scorso anno costava 1,40 €, quest’anno le arance
sono diminuite del 15%, allora costano al chilo …...€.
- Dato il costo di un oggetto IVA esclusa calcola il prezzo IVA inclusa e
viceversa
Tabella75
costo iva esclusa |
iva % |
costo iva inclusa |
€ 130 |
21% |
… … ... |
€ 1250 |
21% |
… … ... |
€ 17,40 |
4% |
… … ... |
… … |
21% |
€ 170 |
… … |
21% |
€ 12240 |
€ 110,00 |
… |
€ 105,60 |
- Dati imponibile (costo senza iva) e iva determina il costo comprensivo di
iva, e viceversa
Tabella76
imponibile |
iva % |
iva |
totale |
100 |
21% |
21 |
121 |
1100 |
21% |
… |
… |
… |
23% |
… |
1100 |
1000 |
… |
… |
1100 |
… |
21% |
141 |
… |
1100 |
… |
100 |
... |
- La seguente tabella riporta i dati relativi alla provenienza di una classe
prima di una scuola secondaria
|
Scuola di provenienza |
Sesso |
Scuola A |
Scuola B |
Scuola C |
Altre scuole |
M |
6 |
4 |
4 |
2 |
F |
5 |
3 |
4 |
2 |
Qual è la percentuale di alunni provenienti dalla Scuola A?
Qual è la percentuale di maschi provenienti dalla Scuola C?
Qual è la percentuale di alunni che non provegono dalle scuole A o B o C?
Qual è la percentuale di alunni che provengono dalle scuola A o C?
- Agli esami di stato un gruppo di allievi ha riportato i seguenti punteggi in
centesimi
Tabella60
punteggi |
60 |
64 |
68 |
70 |
74 |
75 |
80 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
92 |
94 |
98 |
100 |
allievi |
2 |
3 |
1 |
5 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
4 |
6 |
8 |
Per poter partecipare a un concorso occorre aver conseguito il diploma con un
punteggio superiore a 75. Quale la percentuale di diplomati potrà partecipare
al concorso? Se solo il 10% di quelli che si sono presentati al concorso lo
hanno superato, quanti degli allievi hanno superato il concorso?
- Tra i dipendenti di un’azienda si effettua un sondaggio per decidere se è
opportuno introdurre un nuovo tipo di turno di lavoro. Nella tabella sono
riportati i risultati del sondaggio.
Tabella67
|
favorevoli |
contrari |
uomini |
75 |
49 |
donne |
81 |
16 |
Tra le donne, qual è la percentuale di lavoratrici favorevoli al nuovo turno?
Qual è la percentuale di lavoratori (uomini e donne) che non sono favorevoli al
nuovo turno?
- Sapendo che
e che
calcola la lunghezza di BC.
- Sapendo che:math:overline {AB} = 36cm
e che
calcola la lunghezza di BC.
- Sapendo che
e che
calcola le lunghezze di AB e di BC.
Sapendo che
e che
calcola le lunghezze di AB e di BC.
Determina le ampiezze di due angoli complementari sapendo che uno è la metà
dell’altro.
Determina le ampiezze di due angoli supplementari sapendo che uno è i 2/3
dell’altro.
Determina le misure dei due lati di un rettangoli sapendo che ha perimetro di
128cm e che l’altezza è 3/2 della base.
La superficie della Toscana è divisa tra le seguenti provincie, calcola per
ciascuna di esse la percentuale del territorio posseduta: Arezzo (3.235 km2),
Firenze (3.514 km²), Grosseto (4.504 km²), Livorno (1.211 km²), Lucca
(1.773 km²), Massa e Carrara (1.156 km²), Pisa (2.444 km²), Pistoia (965
km²), Prato (365 km²), Siena (3.821 km²).
La superficie dellaTerra è per il 70% ricoperta di acqua e per il 30% di
terraferma. Per 1/5 la terraferma è coperta da ghiaccio e deserto, per 2/3
da foreste e montagna. La parte rimanente è terreno coltivato. Qual è in
percentuale la parte della superficie terrestre coltivata?
In 30 kg di sapone concentrato al 30% quanta acqua e quanto sapone ci sono?..
tab[R. 21kg, 9kg]
Una soluzione di 6kg concentrata al 45% per avere una nuova soluzione
concentrata al 60%.
Quanto solvente bisogna aggiungere a una soluzione di 2kg concentrata al 12%
per ottenere una nuova soluzione concentrata al 10%
Si hanno due soluzioni delle stesse sostanze, una concentrata al 10% e
l’altra al 30%. In quale proporzione occorre miscelare le due soluzioni in
modo da ottenere 6kg di soluzione concentrata al 15%?
Una società ha acquistato dei PC nuovi per i propri dipendenti. Pagandoli in
contanti ha ottenuto uno sconto dell’8%, versando di conseguenza l’importo
di 24.500 €. Qual è il valore iniziale della merce acquistata?
Una persona paga un tappeto 1200 €, lo stesso tappeto l’anno precedente
costava 900 €. Quanto è stato l’aumento percentuale da un anno
all’altro?
Quanto vale il 2012% di 2012?
Proporzioni
DEFINIZIONE. Il rapporto tra due numeri, di cui il secondo è diverso da zero,
è il quoziente che si
ottiene dividendo il primo numero per il secondo. Il primo numero si dice
antecedente, il secondo conseguente.
DEFINIZIONE. Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti, del tipo A
: B = C : D, che si legge A sta a B come C sta a D” con B e D diversi da zero.
Esempi
- 4 : 2 = 12 : 6, formano una proporzione perché i due quozienti valgono
entrambi 2.
- 7 : 14 = 16 : 4 NON formano una proporzione perché il primo rapporto vale 0,5
mentre il secondo rapporto vale 4.
PROPRIETA’ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI. In ogni proporzione il prodotto dei
medi è uguale al prodotto degli estremi.
Esempi
- 4 : 6 = 6 : 9, il prodotto dei medi è
il prodotto degli estremi è
, quindi è una proporzione.
- 20 : 30 = 30 : 40, il prodotto dei medi è
il prodotto degli estremi è
, quindi non è una proporzione.
PROPRIETà DEL PERMUTARE. Se in una proporzione scambiamo tra di loro i medi
otteniamo ancora una proporzione; in modo analogo otteniamo ancora una
proporzione se scambiamo tra di loro gli estremi, o ancora se scambiamo tra di
loro sia i medi sia gli estremi.
Esempio
Data la proporzione 12 : 16 = 18 : 24
- scambiando tra di loro i medi si ottiene la proporzione 12 : 18 = 16 : 24
- scambiando tra di loro gli estremi si ottiene la proporzione 24 : 16 = 18 : 12
- scambiando tra di loro sia i medi sia gli estremi si ottiene la proporzione 24
: 18 = 16 : 12
PROPRIETà DELL’INVERTIRE. Se in una proporzione scambiamo ogni antecedente con
il rispettivo conseguente otteniamo ancora una proporzione.
Esempio
Data la proporzione 15 : 9 = 5 : 3
applicando la proprietà dell’invertire otteniamo la proporzione 9 : 15 = 3 : 5
PROPRIETà DEL COMPORRE. In una proporzione la somma dei primi due termini sta
al primo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo
termine. Analogamente, la somma dei primi due termini sta al secondo termine
come la somma del terzo e del quarto termine sta al quarto termine.
Esempio
Data la proporzione 16 : 10 = 40 : 25, applicando la proprietà del comporre si
ottengono le proporzioni: 26 : 16 = 65 : 40 26 : 10 = 65 : 25
Analogamente alla proprietà del comporre si ha la seguente
PROPRIETà DELLO SCOMPORRE. In una proporzione la differenza dei primi due
termini sta al primo termine come la differenza del terzo e del quarto termine
sta al terzo termine. Analogamente, la differenza dei primi due termini sta al
secondo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al quarto
termine.
Esempio
Data la proporzione 16 : 10 = 40 : 25, applicando la proprietà dello scomporre
si ottengono le proporzioni: 6 : 16 = 15 : 40 6 : 10 = 15 : 25
Calcolo di un medio o un estremo incognito
Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e
dividendo per il medio noto:
.
L’estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e
dividendo per l’estremo noto:
.
Esempi
Calcola il termine incognito di ciascuna proporzione
Tabella130
5 : 7 = 20 : x |
|
2 : x = 3 : 16 |
|
|
|
DEFINIZIONE. Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.
Una proporzione continua è del tipo A : B = B : C, per esempio
3 : 9 = 9 : 27 5 : 10 = 10 : 20 4 : 16 = 16 : 64
Calcolo del medio in una proporzione continua
In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene
moltiplicando gli estremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto.
Esempio
Trovare il valore di x nella seguente proporzione continua 36 : x = x : 9
Svolgimento
Calcolo di un termine incognito per mezzo delle proprietà del comporre e
dello scomporre
Esempio
(11-x) : x = 15 : 5 applicando la proprietà del comporre si ha la proporzione
(11-x+x) : x = (15+5): 5 da cui 11 : x = 20 :5 da cui si ricava
.
permutando i medi si ha :math:`left( frac{1}{2} + x right) div x =
- frac{5}{8} div 5`
applicando la proprietà dello scomporre si ha :math:`left( frac{1}{2} + x
- x right) div x = left( frac{5}{8} - 5
- right) div 5`
eseguendo le operazioni nelle parentesi si ha :math:`frac{1}{2} div x =
- frac{- 35}{8} div 5`
da cui :math:`x = frac{1}{2} cdot 5 div left( frac{- 35}{8} right) =
frac{1}{2} cdot 5 cdot left( - frac{8}{35} right) = - frac{4}{7}`
.
Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Si consideri il perimetro di un triangolo equilatero; sappiamo che esso varia al
variare della lunghezza del suo lato. Se si indica con
la lunghezza del lato del triangolo, allora il perimetro è dato dalla
relazione:
È possibile notare che se raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se
si triplica il lato, allora triplica anche il perimetro etc.
Tabella15
Lato |
0,5 |
1 |
1,5 |
2,4 |
3,1 |
4,4 |
Perimetro |
1,5 |
3 |
4,5 |
7,2 |
9,3 |
13,2 |
Rapporto |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
DEFINIZIONE. Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se il
loro rapporto è costante, cioè
con
.
In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una
proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:
- con
Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che
passa per l’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali:
Esaminiamo ora un altro esempio. Se quando vai a fare benzina allo scooter
chiedi ogni volta 10 € di benzina, noterai che se aumenta il prezzo della
benzina diminuirà la quantità di carburante che ricevi e viceversa se
diminuisce il prezzo aumenterà la quantità di carburante che ricevi. Ciò che
rimane costante è il prodotto tra il prezzo della benzina e la quantità di
benzina ricevuta che deve essere sempre 10 €.
Tabella16
Prezzo benzina al litro |
System Message: WARNING/2 (1,126 €)
latex exited with error:
[stderr]
[stdout]
This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian)
entering extended mode
(./math.tex
LaTeX2e <2009/09/24>
Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
! Undefined control sequence.
\u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro
\else \euro \fi
l.12 $1,126 €
$
[1] (./math.aux) )
(see the transcript file for additional information)
Output written on math.dvi (1 page, 256 bytes).
Transcript written on math.log.
|
System Message: WARNING/2 (1,156 €)
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[stderr]
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yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
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Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo))
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
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\else \euro \fi
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(see the transcript file for additional information)
Output written on math.dvi (1 page, 256 bytes).
Transcript written on math.log.
|
System Message: WARNING/2 (1,212 €)
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, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
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For additional information on amsmath, use the `?’ option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
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\else \euro \fi
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|
System Message: WARNING/2 (1,248 €)
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty))
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def)
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\else \euro \fi
l.12 $1,248 €
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|
Benzina ricevuta |
|
|
|
|
Costo |
€ 10,00 |
€ 10,00 |
€ 10,00 |
€ 10,00 |
DEFINIZIONE. Due grandezze x e y si dicono inversamente proporzionali se il
loro prodotto è costante, cioè se:
con
.
In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una
proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:
con
.
Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da un ramo
d’iperbole equilatera in un sistema di assi cartesiani ortogonali:
- Verifica se i gruppi di numeri formano nell’ordine scritto una proporzione
Tabella89
|
|
|
35; 7; 48; 6 |
14; 3,5; 4; 1 |
|
- Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per verificare quale
delle seguenti scritture formano una proporzione:
- 10 : 11 = 12 : 13 [SI] [NO]
- 7 : 14 = 21 : 42 [SI] [NO]
- 64 : 48 = 8 : 6 [SI] [NO]
- 18 : 15 = 12 : 10 [SI] [NO]
- 10 : 6 = 5 : 3 [SI] [NO]
- 1,2 : 1,4 = 3,6 : 4,2 [SI] [NO]
- Disponi opportunamente i numeri in modo che formino una proporzione:
- 7; 5; 20; 28
- 8; 3; 2; 12
- 5; 6; 2; 15
- 3; 5; 9; 15
- 6; 7; 2; 21
- 3; 8; 6; 16
- Completa la seguente tabella
Tabella17
1° termine |
2° termine |
antecedente |
conseguente |
rapporto |
Rapporto inverso |
32 |
8 |
32 |
8 |
32:8=4 |
|
12 |
13 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Completa la seguente tabella
Tabella18
proporzione |
antecendenti |
conseguenti |
medi |
estremi |
valore del rapporto |
3 : 5 = 21 : 35 |
3, 21 |
5, 35 |
5, 21 |
3, 35 |
0,6 |
54 : 12 = 36 : 8 |
|
|
|
|
|
7 : 21 = 9 : 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni:
2 : 24 = 3 : x
-
-
-
-
-
-
[40]
[25/48]
x : y = 5 : 3 con x+y =24 [x=15; y=9]
con
[x=1/2; y=11/4]
con
[x=5/6; y=1/2]
con
[x=1/7; y=1/4; z=3/28]
Per ciascuna funzione costruisci la tabella dei valori (almeno 5) e
stabilisci se sono riferite a grandezze direttamente proporzionali,
inversamente proporzionali o nessuno dei due casi
Osserva i grafici e rispondi alle domande
- Quale grafico rappresenta una funzione di proporzionalità diretta e quale di
proporzionalità inversa?
- Qual è il coefficiente di proporzionalità? Del primo grafico è … … del
secondo è … …
- Qual è la funzione? Del primo grafico è … … … del secondo grafico è
… … …
- La tabella seguente riporta alcuni valori che esprimono il variare della
grandezza y al variare di x:
Tabella19
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
12 |
24 |
y |
|
|
8 |
|
4 |
|
2 |
1 |
- Completa la tabella sulla base dei valori noti
- Si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?
- Qual è la legge che lega y a x?
- Rappresenta su un piano cartesiano questa relazione
- La tabella seguente riporta alcuni valori che esprimono il variare dello
spostamento s (espresso in km) in funzione del tempo t (espresso in ore)
relativo a un corpo che si muove con velocità costante:
Tabella20
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
s |
7 |
|
21 |
|
35 |
|
49 |
56 |
- Completa la tabella sulla base dei valori noti
- Si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?
- Qual è la legge che lega y a x?
- Rappresenta su un piano cartesiano questa relazione
Espressioni con le frazioni
Esempio
Esempio
Esempio
-
R.:math:-frac{2}{11}
-
R.:math:frac{1}{24}
-
R.:math:frac{5}{6}
-
R.:math:-frac{3}{20}
-
R.:math:-frac{673}{1680}
-
R.:math:frac{31}{3}
-
R.:math:frac{1}{2}
-
R.:math:frac{55}{96}
-
R.:math:-frac{8}{5}
-
R.:math:-frac{46}{45}
-
R.:math:frac{5}{6}
-
R.:math:frac{1}{3}
-
R.:math:-frac{1}{12}
-
R.:math:1
-
R.:math:frac{13}{5}
-
R.:math:frac{11}{28}
-
R.:math:frac{15}{14}
-
R.:math:frac{5}{3}
-
R.:math:10
-
R.:math:frac{13}{15}
-
R.:math:frac{1}{50}
-
R.:math:frac{11}{6}
-
R.
-
R.:math:1
-
R.:math:frac{1}{6}
-
R.
-
R.:math:frac{10}{3}
-
R.:math:frac{1}{3}
-
R.:math:frac{1}{144}
-
R.
-
R.:math:frac{77}{50}
-
R.
-
R.:math:frac{44}{3}
-
R.:math:frac{64}{9}
-
R.
-
R.:math:-frac{2}{3}
-
R.:math:frac{100}{303}
-
R.:math:10
-
R.
-
R.:math:-frac{60}{11}
-
R.
- }object-ole R:math:left( frac{2}{5} right)^{-46}
-
R.:math:2
-
R. 1
-
R.:math:frac{8}{27}
-
R.
-
R.
- R. 1
- R. 2
-
R.38/45
-
R. 40/37
-
R.:math:1
- R.:math:frac{1}{15}
- R.:math:7
-
R.:math:0
-
R.:math:0
-
R.:math:1
-
R.:math:1
-
R.:math:frac{5}{6}
-
R.:math:1
-
R.:math:- 1
-
R.:math:- frac{1}{2}
-
R.:math:- frac{1}{10}
- R.:math:frac{1}{3}
- R.:math:frac{7}{3}
-
R.:math:frac{5}{9}
-
R.
-
R.
-
R.:math:frac{1}{10}
-
R.:math:1
-
R.:math:frac{5}{8}
-
R.:math:-frac{5}{3}
-
R.:math:- frac{3}{2}
-
R.:math:1
-
R.:math:- frac{2}{27}
-
R.
-
R.
R.:math:- frac{1}{2}
R.:math:- frac{1}{12}
-
R.:math:frac{18}{13}
-
R.:math:frac{1}{30}
-
R.:math:- frac{12}{25}
- Calcola il valore dell’espressione E = A- B, dove
-
- L’età di Paolo è i 5/11 di quella della madre che ha 44 anni. Quanti anni
ha Paolo? [20]
- L’età di Marco è 1/2 di quella di Paolo che è 1/3 di quella del padre
che ha 54 anni. Quanti anni ha Marco? [9]
- I 2/5 del libro che stiamo leggendo è la parte più noiosa, le rimanenti 63
pagine sono invece le più avvincenti. Di quante pagine è formato il libro?
[105]
- Gli alunni del primo e del secondo anno di una scuola media sono
rispettivamente i 3/7 e i 2/7 del totale. Sapendo che gli alunni che
frequentano la terza media sono 54, quanti sono tutti gli alunni della
scuola? [189]
- Al supermercato ho speso 7/10 della somma di denaro che possedevo;
successivamente ho incassato un credito uguale ai 13/20 della somma iniziale
e ho speso 2/15 sempre della somma iniziale per un rifornimento di benzina.
Sapendo che sono rimasto con 220,50 euro, quale somma di denaro possedevo
inizialmente? [270]
- In una fattoria ci sono vitelli, capre e animali da cortile per un totale di
75 capi. I vitelli sono i 2/5 di tutti gli animali, mentre le capre sono i
2/3 degli animali da cortile. Quanti vitelli, capre e animali da cortile ci
sono? [30, 18, 27]
- Tre casse pesano complessivamente 220 kg; la seconda pesa 1/2 della prima e
la terza pesa 1/3 della seconda. Calcola il peso di ciascuna cassa. [132; 66;
22]
- Tre operai devono eseguire un lavoro. Il primo da solo lo farebbe in 12
giorni, il secondo in 18 giorni e il terzo in 36 giorni. Lavorando insieme,
in quanti giorni i tre operai potrebbero eseguire tutto il lavoro? [6]
- Un collezionista vende i 3/7 della sua collezione costituita da 385 pezzi.
Quanti pezzi gli rimangono? [220]
- In un terreno agricolo sono stati piantati ulivi e mandorli per 266 alberi
complessivi. Se gli ulivi sono i 4/10 degli alberi di mandorle, quanti sono
gli ulivi e i mandorli? [76; 190]
- Il prezzo di copertina di un libro è di 29 euro; quanto verrà pagato con
uno sconto del 15 % [24,65]
- Su 1020 alunni di una scuola, 153 sono stati respinti; qual è la percentuale
dei promossi? [85%]
- La differenza di età fra Marco e Antonio è di 18 anni e l’età di Marco
è i 7/4 di quella di Antonio. Quanti anni hanno Marco e Antonio? .. Warning,
unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-break[42;
24]
- Un oggetto è costituito da una lega di zinco e , il suo peso è di 280 g, la
percentuale di rame è %. Quanti grammi di zinco contiene?
- Mario va in pizzeria e, nell’attesa di essere servito, conta le persone che
vi si trovano: gli uomini sono i 5/9 delle donne, queste superano gli uomini
di 8 unità, infine vi sono 17 bambini. Quante persone ci sono in tutto?
Quanti sono gli uomini e le donne? [45, 10, 18]
- Gino compra un auto da 5.400 euro. Paga i 4/9 in contanti ed il resto in 5
rate. Qual è l’ammontare di ogni rata? A quale frazione corrisponde ogni
rata? [600 €; 1/9]
- Il serbatoio di una macchina contiene benzina per i 3/4 della sua capacità.
Dopo aver consumato i 2/3 della benzina che c’è, si fa un pieno
aggiungendone 66 litri. Qual è la capacità del serbatoio? [88]
- Un misurino contiene 1/8 di kg di farina. Quanti misurini di farina sono
necessari per riempire un sacchetto di 5 kg?
- Due gruppi di scavatori scavano una galleria, ciascun gruppo comincia da una
delle due parti opposte; se fino a oggi hanno scavato rispettivamente 5/9 e
3/7 dell’intera galleria e restano ancora da scavare 2 m, quanto è lunga
l’intera galleria? [126]
- L’aria è composta per 39/50 di azoto e per 21/100 di ossigeno, la parte
rimanente è composta da gas diversi. Quale frazione di aria occupano tutti
gli altri gas? [1/100]
- Luca ha pagato la tassa scolastica in ritardo, ha pagato 56,16 € compresa
la mora del 4% per il ritardo nel pagamento. Quanto avrebbe dovuto pagare
senza mora? [54€]
- In un’azienda 3/10 degli impiegati sono addetti contabilità. Qual è la
percentuale degli addetti contabilità rispetto a tutti gli impiegati
azienda?
- A un gruppo di 200 intervistati è stato chiesto quale quotidiano leggono. Le
risposte sono state le seguenti:
- 90 leggono “La Repubblica”
- 70 leggono “Il Corriere della sera”
- 30 leggono “ La stampa”
- 10 leggono “ La gazzetta dello sport”
Trasforma in percentuali i dati ottenuti.
- A un concorso si sono presentati 324 candidati. 22 hanno superato il
concorso. Qual è stata la percentuale dei candidati che non hanno superato
il concorso?
- Un’auto usata è stata acquistata a 11800 € in questo modo: il 5% come
caparra per la prenotazione, il 20% al momento della conseegna e il resto in
12 rate di pari importo. Qual è l’importo della rata? [737,5 €]
- Un gestore di un bar acquista i cornetti a 0,60€ rivende a 0,75€. Qual è
la percentuale di guadagno sul prezzo di acquisto? [25%]
- In un supermercato si vende il pomodoro pelato a 0,60 € in confezioni da
250 g e a 1,00 euro in confezioni da 500 g. Quale percentuale di sconto
usufruisce chi compra la confezione da mezzo chilo?
- In una piscina contenente 2800m3 di acqua si devono aggiungere 15 litri di
cloro. Quanto cloro occorre per
1000m3 di acqua? [5,36 l]
- La somma di due segmenti misura 34cm, sapendo che le loro lunghezze sono in
proporzione con 3/2, calcola la loro lunghezza. [13,6; 20,4]
- Gli angoli interni di un triangolo hanno misure proporzionali ai numeri 1; 3;
5. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180°,
calcola le misure degli angoli. [20°, 60°, 100°]
- Un televisore a 16/9 ha la base di 18”. Quanti pollici misura l’altezza?
- Per preparare una torta bisogna mettere 3 parti di zucchero ogni 4 parti di
farina. Se si utilizzano 500g di farina, quanto zucchero bisogna utilizzare?
- Un negoziante, durante il periodo di Natale, sconta tutti i prezzi del 10%.
Se il prezzo iniziale di un paio di scarpe era €70,00 qual è ora il suo
prezzo? Dopo le feste, il negoziante abbassa i nuovi i prezzi del 10%. Quanto
costano
ora le scarpe? [77€; 69,3 €]
- Al cinema “Pegaso”’ hanno deciso di aumentare il biglietto del 10%; il
numero degli spettatori è calato, però, del 10%. E’ stato un affare? spiega
perché. [No, perde l‘1% dei ricavi]
- Anna entra in una cartoleria e compra due penne, di cui una costa il doppio
dell’altra; riceve lo sconto 15% sulla penna più costosa e del 40% su quella
meno costosa. Qual è lo sconto che riceve complessivamente?
- Pierino oggi ha incrementato il suo capitale del 10%. Se anche domani
l’incremento sarà del 10%, quanto sarà l’incremento totale in percentuale?
[21%]
- Tizio ha perso il 20% dei suoi soldi; quanto dovrà guadagnare, in
percentuale, per recuperare?
- Un paio di scarpe scontato del 20% costa 40€ quanto costava prima dello
sconto? [50€]
- Per pavimentare una piazza 8 operai impiegano 10 giorni lavorando 8 ore al
giorno; quanti giorni impiegherebbero 5 operai se lavorassero 6 ore al
giorno?
- Pierino si reca in un negozio di giocattoli, dove ne acquista uno. A Pierino
vengono offerti due tipi di sconti, uno del 10% e uno del 35%. In quale
ordine converrà ricevere i due sconti? Spiega il motivo.
- Una tariffa telefonica ha un costo di 10 cent al minuto per i primi 5 minuti
di conversazione. Per i minuti successivi aumenta del 5%. Dopo 15 minuti di
conversazione aumenta del 20% del costo iniziale. Quanto si spende se si
effettua una telefonata di 20 minuti? [2,15 €]
- Un ingegnere incassa per la realizzazione di un progetto una certa somma. Di
essa il 20% deve essere restituita allo stato come IVA e della parte
rimanente il 40% deve essere pagata come tasse. Qual è la percentuale della
somma che rimane all’ingegnere?
- Nel paese di Vattelapesca il 20% degli abitanti è europeo il restante 80% è
asiatico. La lingua inglese è parlata dal 50% degli europei e dal 40% degli
asiatici. Se a Vattelapesca 5930 persone parlano inglese, quanti sono gli
abitanti di Vattelapesca?
- Un liquido viene filtrato con un primo filtro che toglie il 40% delle
impurità. Successivamente viene filtrato con un secondo filtro che toglie il
30% delle impurità. Infine viene filtrato con un terzo filtro che elimina il
50% delle impurità. Quale percentuale complessiva delle impurità è stata
eliminata?
- Una prova di ammissione consiste di due test. Solo i 2/3 dei candidati
superano il primo test e 1/5 di quelli che hanno superato il primo test
superano anche il secondo. Qual è la percentuale di candidati che hanno
superato tutti e due i test?
- L’acquisto di un’auto può essere fatto con due tipi di pagamento: pagando
l’intero importo di 23000 € all’acquisto il 1° gennaio 2011; oppure
dividendo il pagamento in tre rate annuali di 8000, da pagare il 1° gennaio
2011, il 1° gennaio 2012, il 1° gennaio 2013. Avendo tutto il denaro su un
conto corrente bancario a un interesse annuo del 3% quale forma di pagamento
è più vantaggiosa? Di quanto?
- Una forte influenza ha colpito il 60% dei bambini di età inferiore o uguale
a 10 anni e il 15% delle persone di età maggiore. Se la percentuale di
persone che si sono ammalate di questa influenza è stata del 20%, qual è la
percentuale di bambini in quella popolazione?
- Una maglietta costava lire 65.000 prima dell’entrata in vigore dell’euro,
dopo costava € 40. Di quanto è aumentato in %, il prezzo della maglietta?
Si tenga conto che 1 € valeva 1936,77 lire.
- Una ragazza, di 46 kg, va dal dietologo, che le consiglia di restare entro il
5% del peso attuale. Tra quali valori può oscillare il suo peso?
- Per raccogliere le foglie cadute nel cortile della scuola, Mario impiega 6
ore, Marco 10 ore, Matteo 15 ore. Se i tre si mettessero a lavorare insieme,
in quante ore pulirebbero il cortile?
- Una certa bevanda è ottenuta mescolando 1 parte di sciroppo con 5 parti di
acqua. Per errore Adolfo ha mescolato 5 parti di sciroppo con 1 di acqua,
ottenendo 3 litri di miscuglio. Aggiungendo una opportuna quantità di acqua,
Adolfo può ottenere una bevanda in cui sono rispettate le proporzioni
stabilite? Quanti litri di acqua deve aggiungere?